Если это происходит только при заведенном двигателе, то смотри цепь зарядки, в том числе реле зарядки, и генератор. Пока не найдешь причину двигатель не лучше не заводи. Ток через аккумулятор видимо прет не малый. Здесь может произойти не просто сульфатация, а пластины просто покоробит, при этом не исключается КЗ пластин, и аккумулятор пойдет на свалку.